Chapitre 04: Initiation au calcul littéral et aux équations

Mathenpoche:

1) Expressions littérales

- Une expression littérale est une expression dans laquelle certains nombres sont représentés par des lettres.

Exemple: on considère le rectangle ABCD

Son aire A est:
A = L x l
A = AB x BC
A = x x 2
expression littérale contenant la lettre "x "

Rappel: le signe "x" de la multiplication peut être supprimé devant une lettre ou une parenthèse.

d'où A = x x 2
  A = 2 x x
  A = 2x

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2) Transformations d'expressions littérales

a) Développement d'un produit

Développer un produit signifie transformer ce produit en une somme ou en une différence.

Exemple: développer le produit A = 5( 2x + 7 )

A = 5( 2x + 7 ) On applique la distributivité de la multiplication par rapport à l'addition k(a+b) = ka + kb.
A = 5 x 2x + 5 x 7  
A = 10x + 35 On effectue en respectant les règles de priorité sur les opérations.

 

b) Factorisation d'une somme (ou d'une différence)

Factoriser une somme ou une différence signifie transformer cette somme ou cette différence en produit.

Exemple: factoriser la différence B = 9x - 45

B = 9x - 45 On décompose chaque terme en un produit comportant un même facteur, le facteur commun est 9.
B = 9 x x - 9 x 5 On applique la distributivité de la multiplication par rapport à l'addition ka - kb = k(a - b).
B = 9 x ( x - 5 )  
B = 9( x - 5 ) On simplifie l'écriture.

 

c) Réduire une expression littérale

Pour réduire une somme ( ou une différence ), on commence par la factorisée.

Exemple: Réduire l'expression C = 12x + 5x

C = 12x + 5x
C = 12 x x + 5 x x C'est la somme des deux produits 12 x x et 5 x x . Ces deux produits ont le
C = x x ( 12 + 5 ) facteur "x " en commun.
C = x x 17 On factorise l'expression, on effectue les parenthèses.
C = 17 x x Le nombre est toujours devant la lettre.
C = 17x  

 

d) Calcul de la valeur d'une expression littérale

Calculer la valeur de l'expression D = 3x² + 2y + 7 pour x = 2 et y = 5.

D = 3x² + 2y + 7  
D = 3x x x + 2 x y + 7 On décompose l'écriture.
D = 3 x 2 x 2 + 2 x 5+ 7 On remplace x et y par leur valeur.
D = 12 + 10 + 7 On effectue en respectant les règles de priorité.
D = 22 + 7  
D = 29  

 

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3) Tester l'égalité de deux expressions littérales

Tester l'égalité de deux expressions littérales, c'est remplacer les lettres par des nombres pour savoir si cette égalité est vraie ou fausse pour ces nombres.

Exemple 1:

L'égalité 3( x + 1) = 4x + 2 est-elle vraie pour x = 3 ?
On calcule le membre de gauche.
3(x + 1) = 3(3 + 1) = 3 x 4 = 12
On calcule le membre de droite.
4x + 2 = 4 x 3 + 2 = 12 + 2 = 14
Les deux résultats sont différents (12 différent de 14) donc l'égalité
3( x + 1) = 4x + 2 est fausse pour x = 3
on dit que 3 n'est pas une solution de l'équation 3( x + 1) = 4x + 2
 

Exemple 2 :

L'égalité 3( x + 1) = 4x + 2 est-elle vraie pour x = 1 ?
On calcule le membre de gauche.
3(x + 1) = 3(1 + 1) = 3 x 2= 6
On calcule le membre de droite.
4x + 2 = 4 x 1+ 2 = 4 + 2 = 6
Les deux résultats sont égaux donc l'égalité
3( x + 1) = 4x + 2 est vraie pour x = 1
on dit que 1 est une solution de l'équation 3( x + 1) = 4x + 2
 

 

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4) Résoudre une équation

Au primaire : quel nombre faut-il ajouter à 32 pour obtenir 45 ?
Réponse : 13
En 6ème : 32 + ..... = 45 ou 32 + ? = 45
En 5ème : cherchons x tel que 32 + x = 45
1er membre = 2ème membre
  32 + x = 45 est une équation
x est l'inconnue

Résoudre l'équation 32 + x = 45 , c'est chercher la (les) valeur(s) qui vérifie(nt) l'équation pour que l'égalité soit vraie.

Résolution :

32 + x
=
45
x
=
45 - 32
x
=
13

13 est la solution de l'équation 32 + x = 45.

Autre exemple: déterminer la valeur de x pour que l'égalité 2x + 3 = 15 soit vraie.

2x + 3
=
15 On commence par calculer 2x
2x
=
15 - 3 Le nombre que l'on ajoute à 3 pour obtenir 15 est la différence 15 - 3, c'est à dire 12
2x
=
12 Le nombre que l'on multiplie par 2 pour obtenir 12, on l'obtient en calculant le quotient 12/2
x
=
12/2  
x
=
6  

Le nombre 6 est la solution de l'équation 2x + 3 = 15

Vérification pour x = 6 :

2x + 3
=
2 x 6 + 3
=
12 + 3
=
15

 

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