Chapitre 7 : équations et inéquations

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1) Résolution d'une équation du premier degré

Une équation est une dans laquelle interviennent un ou plusieurs nombres , ( le plus souvent désignés par des ).

Une équation est composée, d'une "x", d'un premier , du signe "", d'un deuxième .

Exemple:
4x + 3x - 6 = 5 - 5x + 1- 6x


Résoudre l'équation 4x + 3x - 6 = 5 - 5x + 1 - 6x, c'est trouver les valeurs de "" qui rendent cette égalité et que l'on appelle alors de l'équation.

Pour résoudre une équation nous disposons des règles suivantes:

Règle 1: on peut ou un même aux deux de l'équation la valeur de la solution.

Règle 2 : on peut ou par un même les deux de l'équation la valeur de la solution.

Exemple: résoudre l'équation suivante:
4x + 3x - 6 = 5 - 5x + 1 - 6x
7x - 6 = 6 - 11x On
7x + 11x - 6 = 6 - 11x + 11x On regroupe les "" dans le membre de . On ajoute à chaque membre (règle1).
18x - 6 = 6 On
18x - 6 + 6 = 6 + 6 On regroupe les "" dans le membre de . On ajoute à chaque membre.
18x = 12 On
18x/18 = 12/18 On les deux par
x = 12/18
x = 2/3 On

L'équation 4x + 3x - 6 = 5 - 5x +1 - 6x admet une seule : x=2/3

Vérification: 1er membre pour x=2/3 : 7x - 6 = 7 x (2/3) - 6 = 14/3 - 18/3 = -4/3
2ème membre pour x = 2/3 : 6 - 11x = 6 - 11 x (2/3) = 18/3 - 22/3 = -4/3

L'égalité est pour x = 2/3.


Règle 3 : dans une , on peut un d'un à l' sans , à condition de de ce terme.

4x + 3x - 6 = 5 - 5x + 1 - 6x
7x - 6 = 6 - 11x On fait passer dans le membre de en de ().
7x + 11x = 6 + 6 On fait passer dans le membre de en de ().
18x = 12
18x/18 = 12/18
x = 12/18
x = 2/3
L'équation admet une solution: x=2/3


2) Mise en équation d'un problème

Pour mettre en équation un problème, il faut:

- Choisir l'

- Traduire l' par une

- l'équation obtenue

- ( Vérifier la )

- à la question posée.

Exemple:

Un homme a le double de l'âge de son fils, à eux deux ils ont 69 ans. Quels sont leurs âges?

* Choix de l'inconnue:

J'appelle "x" l'âge du fils, "x" est un entier .

* Traduction de l'énoncé ( ):

Le père a le double de l'âge de son fils soit: .

A eux deux, ils ont 69 ans d'où l'équation: =

* :

x + 2x = 69
x = 69
x = 69/
x = 23
d'où 2x = 2 x 23 = 46

( Vérification: 23 + 46 = 69 )

* Conclusion:

Le fils a et le père .


3) Notion d'

Définition :

Une inéquation est une qui comporte au moins un nombre de valeur , généralement désigné par une .

Cette inégalité peut être pour certaines valeurs de l'inconnue et pour d'autres.

Une d'une inéquation est une valeur de l' pour laquelle l' est .

Remarque :

on écrit a 72.jpg b lorsqu'on est dans l'un des deux cas suivant : a b ou a b

a 72.jpg b se lit " a à b " de même,

a 71.jpg b se lit " a à b ".

Exemples :

A 71.jpg 5
"A" peut prendre toutes les valeurs à 5, ainsi que la valeur .

Autres exemples :

* x + 7 72.jpg 13 est une inéquation d'inconnue x.

Si x = 3, alors x + 7 = 3 + 7 = 10.

Or 10 < 13 donc l' est pour x = 3.

On dit que 3 est une de l'inéquation x + 7 72.jpg 13.

* 2x - 5 > 14 est une inéquation d'inconnue x .

Si x = 1, alors : 2x - 5 = 2 x 1 - 5 = 2 - 5 = - 3

Or - 3 < 14 donc l'inégalité est pour x = 1.

On dit que 1 n'est une de l'inéquation 2x - 5 > 14.