Chapitre 07: Equations et Inéquations

Philippe Mercier
Maths au  Collège

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1) Résolution d'une équation du premier degré

Une équation est une égalité dans laquelle interviennent un ou plusieurs nombres inconnus, ( le plus souvent désignés par des lettres ).

Une équation est composée, d'une inconnue "x", d'un premier membre, du symbole "=", d'un deuxième membre.

Exemple:
4x + 3x - 6
=
5 - 5x + 1- 6x
 
1er membre
 
2ème membre

Résoudre l'équation 4x + 3x - 6 = 5 - 5x +1 - 6x, c'est trouver toutes les valeurs de "x" qui rendent cette égalité vraie et que l'on appelle alors solutions de l'équation.

Pour résoudre une équation nous disposons des règles suivantes:

Règle 1: on peut ajouter ou retrancher un même nombre aux deux membres de l'équation sans changer la valeur de la solution.

Règle 2 : on peut multiplier ou diviser par un même nombre non nul les deux membres de l'équation sans changer la valeur de la solution.

Exemple: résoudre
l'équation suivante:
 
 
4x + 3x - 6
=
5 - 5x +1 - 6x
 
 
7x - 6
=
6 - 11x
On réduit
 
7x + 11x - 6
=
6 - 11x + 11x
On regroupe les "termes en x" dans le membre de gauche. On ajoute 11x à chaque membre (règle1).
 
18x - 6
=
6
On réduit
 
18x - 6 + 6
=
6 + 6
On regroupe les "termes sans x" dans le membre de droite. On ajoute 6 à chaque membre.
 
18x
=
12
On réduit
 
18x/18
=
12/18
On divise les deux membres par 18
 
x
=
12/18
 
 
x
=
2/3
On simplifie
         
L'équation
4x + 3x - 6 = 5 - 5x +1 - 6x   admet une seule solution: x=2/3
         
Vérification:
  1er membre pour x=2/3 7x - 6 = 7 x (2/3) - 6 = 14/3 - 18/3 = -4/3
      2ème membre pour x=2/3: 6 - 11x = 6 - 11 x (2/3) = 18/3 - 22/3 = -4/3
         
      L'égalité est vérifiée pour x=2/3:  

Règle 3 : dans une égalité, on peut changer un terme d'un membre à l'autre sans changer l'égalité, à condition de changer le signe de ce terme.

4x + 3x - 6
=
5 - 5x +1 - 6x
7x - 6
=
6 - 11x
On fait passer -11x dans le membre de gauche en changeant de signe (+11x).
7x + 11x
=
6 + 6
On fait passer -6 dans le membre de droite en changeant de signe (+6).
18x
=
12
18x/18
=
12/18
x
=
12/18
x
=
2/3

 

 

 

 

 

L'équation admet une solution: x=2/3

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2) Mise en équation d'un problème

Pour mettre en équation un problème, il faut:

- Choisir l'inconnue

- Traduire l'énoncé par une équation

- Résoudre l'équation obtenue

- ( Vérifier la solution )

- Répondre à la question posée.

Exemple:

Un homme a le double de l'âge de son fils, à eux deux ils ont 69 ans. Quels sont leurs âges?

* Choix de l'inconnue:

J'appelle "x" l'âge du fils, "x" est un entier naturel.

* Traduction de l'énoncé ( Mise en équation ):

Le père a le double de l'âge de son fils soit: 2x.

A eux deux, ils ont 69 ans d'où l'équation: x + 2x = 69

* Résolution de l'équation:

x + 2x
=
69
3x
=
69
x
=
69/3
x
=
23

 

 

 

d'où 2x = 2 x 23 = 46

( Vérification: 23 + 46 = 69 )

* Conclusion:

Le fils a 23 ans et le père 46 ans.

 

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3) Notion d'inéquation

Définition :

Une inéquation est une inégalité qui comporte au moins un nombre de valeur inconnue, généralement désigné par une lettre.

Cette inégalité peut être vraie pour certaines valeurs de l'inconnue et fausse pour d'autres.

Une solution d'une inéquation est une valeur de l'inconnue pour laquelle l'inégalité est vraie.

Remarque :

Exemples :

* x + 7 13 est une inéquation d'inconnue x .

Si x = 3, alors x + 7 = 3 + 7 = 10.

Or 10 < 13 donc l'inégalité est vraie pour x = 3.

On dit que 3 est une solution de l'inéquation x + 7 13.

 

* 2x - 5 > 14 est une inéquation d'inconnue x .

Si x = 1, alors : 2x - 5 = 2 x 1 - 5 = 2 - 5 = - 3

Or - 3 < 14 donc l'inégalité est fausse pour x = 1.

On dit que 1 n'est pas une solution de l'inéquation 2x - 5 > 14.

 

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