Chapitre 06 : probabilités

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1) Modélisation d'une expérience aléatoire.

Définitions :

- Une expérience est une expérience dans laquelle intervient le . On ne peut pas en le à l'avance mais on peut lister les différentes , que l'on appelle " ".

Exemple :

- On lance un dé à 6 faces et on observe le numéro inscrit sur la face du dessus. Cette expérience aléatoire comporte 6 issues : 1, 2, 3, 4, 5 et 6.

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Exemple :

- Lorsqu'on lance une pièce équilibrée, on a 1 chance sur 2 d'obtenir " Face ". On peut dire que la probabilité d'obtenir " Face " vaut 1/2 ou 0,5 ou encore 50 %.

Remarque :

- On peut exprimer une probabilité sous plusieurs formes : un nombre décimal, une fraction, un pourcentage...

Définition :

- Lorsque toutes les issues d'une expérience aléatoire ont la même probabilité, on dit que les issues sont équiprobables.

Propriétés :

- La somme des probabilités de toutes les issues d'une expérience aléatoire est égale à 1.
- Si l'expérience comporte " n " issues équiprobables, la probabilité de chacune d'entre elles vaut " 1/n ".

Exemple :

Lorsqu'on lance un dé cubique équilibré, chaque face a autant de chances d'être obtenue que les autres. Les issues ont donc chacune une probabilité égale à 1/6. On constate que 1/6 + 1/6 +1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 = 1.

Propriété :

- Si on répète un très grand nombre de fois une expérience aléatoire, la fréquence d'apparition d'une issue devient proche d'un nombre qui est la probabilité de cette issue.

Exemple :

On a lancé un grand nombre de fois une pièce de monnaie équilibrée. On constate que la
fréquence de " Face " se stabilise autour de 0,5, ce qui est bien la probabilité d'obtenir " Face ".

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2) Probabilité d'un évènement.

Vocabulaire :

Selon le résultat d'une expérience aléatoire, on dit qu'un évènement est réalisé ou non.

Exemple :

On lance un dé cubique et on observe le numéro inscrit sur la face du dessus.
On considère l'évènement " Obtenir un multiple de 3 ". On note A cet évènement.
Cette expérience aléatoire comporte 6 issues possibles : 1, 2, 3, 4, 5 et 6.
Si on obtient l'issue 3 ou 6, on dit que l'évènement A est réalisé.
Si on obtient l'issue 1, 2, 4 ou 5, on dit que l'évènement A n'est pas réalisé.


Définition :

- La probabilité d'un évènement est égale à la somme des probabilités des issues qui le réalisent.

Exemple :
On lance un dé cubique truqué pour lequel, on a :

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Les issues qui réalisent l'évènement " Obtenir un nombre impair " sont 1, 3 et 5.
0,3 + 0,4 + 0,05 = 0,75
La probabilité de cet évènement est donc égale à 0,75.

Propriétés :

- La probabilité d'un évènement est un nombre compris entre 0 et 1.
- Dans une expérience aléatoire où toutes les issues sont équiprobables.
La probabilité d'un évènement A vaut : 64.jpg

Exemple :

Lorsqu'on lance un dé cubique équilibré, les issues qui réalisent l'évènement " Obtenir un nombre strictement supérieur à 4 " sont 5 et 6.
Il y a donc 2 issues équiprobables qui réalisent cet évènement.
Sa probabilité vaut donc 2/6 soit 1/3.

Définitions et propriétés :

- Un évènement impossible est un évènement qui ne peut jamais se réaliser.
Sa probabilité est égale à 0.
- Un évènement certain est un évènement qui se réalise toujours, quel que soit le résultat de l'expérience aléatoire.
Sa probabilité est égale à 1.

Exemple :

Lorsqu'on lance un dé, " Obtenir 7 " est un évènement impossible et " Obtenir un numéro entre 1 et 6 " est un évènement certain.


3) Utilisation des évènements incompatibles ou contraires.

Définition :

On dit que deux évènements sont incompatibles s'ils ne peuvent pas se réaliser en même temps.

Exemples :

Lorsqu'on lance un dé cubique, les évènements A : " Obtenir un numéro strictement inférieur à 2 " et B : " Obtenir un numéro strictement supérieur à 4 " ne peuvent pas se réaliser en même temps. A et B sont incompatibles.
En revanche, les évènements C : " Obtenir un multiple de 3 " et D : " Obtenir un nombre pair " ne sont pas incompatibles.
En effet, si le résultat du dé est 6, les deux évènements C et D sont réalisés en même temps.

Propriété :

Si deux évènements A et B sont incompatibles, la probabilité pour que l'un ou l'autre se réalise est égale à la somme des probabilités de ces deux évènements :
P(A ou B) = P(A) + P(B)

Exemple :

Dans le cas précédent, la probabilité de l'évènement " obtenir un numéro strictement inférieur à 2 ou strictement supérieur à 4 " se calcule de la manière suivante :
- La probabilité de l'évènement A : " Obtenir un numéro strictement inférieur à 2 " vaut 1/6.
- La probabilité de l'évènement B : " Obtenir un numéro strictement superieur à 4 " vaut 2/6.
Les évènements A et B sont incompatibles. De plus, la réalisation de " Obtenir un numéro strictement inférieur à 2 ou strictement supérieur à 4 " correspond à la réalisation de A ou de B.

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Définition :

L'évènement contraire d'un évènement A est l'évènement qui se réalise lorsque A n'est pas réalisé. On le note 66.jpg.

Exemple :

Au grenier se trouve un carton contenant des boules de Noël. Il y a 3 boules rouges, 2 vertes et 4 bleues; Marina monte au grenier sans lumière et prend une boule au hasard dans le carton pour décorer le sapin.
L'évènement contraire de l'évènement A : " Obtenir une boule bleue " est l'évènement : " Ne pas obtenir une boule bleue ", c'est-à-dire " Obtenir une boule rouge ou une boule verte ".

Propriété :

La somme des probabilités d'un évènement et de son contraire vaut 1 : 67.jpg
On peut en déduire que 68.jpg

Exemple :

Avec l'exemple précédent, la probabilité que Marina prenne une boule bleue est :

69.jpg

Donc la probabilité que Marina prenne une boule bleue est égale à 5/9.