Chapitre 02: triangles égaux, triangles semblables

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1) Utilisation des propriétés des angles et des triangles

a) Angles par le

Définition:

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Deux angles sont , par le
lorsque:
- ils ont le même
- leurs côtés sont dans le l' de l'.

Propriété: deux angles par le sont .

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b) Angles formés par deux et une

- Angles alternes-internes

Soit deux droites (xx') et (yy') coupées par une sécante (uu').

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Deux angles alternes-internes sont deux angles (non adjacents) situés de part et d'autre de la droite (uu') et entre (xx') et (yy').


- Angles correspondants

Soit deux droites (xx') et (yy') coupées par une sécante (uu').

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Deux angles correspondants sont deux angles (non adjacents) situés d'un même côté de la droite (uu'), l'un entre les droites (xx') et (yy'), l'autre non.


c) Cas particuliers les droites (xx') et (yy') sont parallèles

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Propriété 1: Si deux droites parallèles sont coupées par une sécante alors les angles alternes-internes qu'elles déterminent sont égaux.

Soit deux droites parallèles (xx') et (yy') coupées par une sécante (uu').
Conséquence:

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Propriété 2: Si deux droites parallèles sont coupées par une sécante alors les angles correspondants qu'elles déterminent sont égaux.

Conséquence:

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d) Reconnaissances de deux droites parallèles

* Par les angles alternes-internes

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Propriété 1 ( réciproque )
Si deux droites coupées par une sécante forment deux angles alternes-internes
de même mesure, alors ces droites sont parallèles.


* Par les angles correspondants

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Propriété 2 ( réciproque )
Si deux droites coupées par une sécante forment deux angles correspondants
de même mesure, alors ces droites sont parallèles.


e) Construction d'un triangle

- Inégalité triangulaire

Exemple: dans chaque cas, tracer un triangle ABC tel que:
a) AB=5cm ; AC=3cm ; BC=3cm
b) AB=5cm ; AC=3cm ; BC=2cm
c) AB=5cm ; AC=3cm ; BC=1cm

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Conséquences:

- Dans un triangle la longueur de chaque côté est inférieure à la somme
des longueurs des deux autres côtés.
- Si AB=AM+MB, alors M est sur le segment [AB].

* Avant de construire un triangle, connaissant les longueurs de ses côtés, il faut s'assurer que la longueur du plus grand côté est inférieure à la somme de celles des plus petits côtés.


f) Détermination d'un angle dans un triangle

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Propriété: Dans un triangle la somme des mesures des trois angles est égale à 180°

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g) Triangles particuliers

- Triangle isocèle

Définition: Un triangle isocèle est un triangle qui a deux côtés de même longueur.

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Propriétés:
- Un triangle isocèle a un axe de symétrie: la médiatrice de la base, c'est la bissectrice de l'angle principal Â.

- Si un triangle est isocèle alors ses angles à la base sont égaux.
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- Si un triangle a deux angles égaux, alors il est isocèle.
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- Triangle rectangle isocèle

Définition: Un triangle rectangle isocèle est un triangle isocèle ayant un angle principal de 90°.

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Propriétés:
- si un triangle est rectangle isocèle, alors chaque angle aigu mesure 45°.
- si un triangle a deux angles de 45°, alors il est rectangle isocèle.


- Triangle équilatéral

Définition: Un triangle équilatéral est un triangle dont les trois côtés ont la même longueur.

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Propriétés:

- un triangle équilatéral possède trois axes de symétrie: les médiatrices des côtés (Bissectrices des angles).
- si un triangle est équilatéral, alors chacun de ses angles mesure 60°.
- si un triangle a trois angles égaux, alors il est équilatéral.



2) Reconnaissance des triangles égaux (ou isométriques)

- Définition :

Deux triangles sont égaux lorsque leurs côtés sont deux à deux de même longueur.

Exemple :

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Les triangles ABC et EFG sont égaux car :

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- Propriété : Si deux triangles sont égaux, alors leurs sont deux à deux de même mesure.


Exemple :

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Les triangles ABC et EDF sontdes triangles égaux, donc :

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Remarque :
Deux triangles égaux sont superposables.

- Propriété :
Si deux triangles ont, deux à deux, un angle de même mesure compris entre deux côtés de même longueur, alors ils sont égaux.

Exemple :

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43.jpg

Donc les triangles ABC
et A'B'C' sont égaux.

- Propriété :
Si deux triangles ont, deux à deux, un côté de même longueur compris entre deux angles de même mesure, alors ils sont égaux.

Exemple :

44.jpg

45.jpg

Donc les triangles ABC
et A'B'C' sont égaux.



3) Reconnaissance des triangles semblables

- Définition :

Deux triangles sont semblables lorsque leurs angles sont deux à deux de même mesure.

Exemple :

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Les triangles ABC et EFG sont égaux car :

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Attention : si deux triangles sont égaux, alors ils sont semblables.
Par contre, deux triangles semblables ne sont pas forcément égaux.


Exemple :

Pour démontrer que deux triangles sont semblables, il suffit de montrer qu'ils ont deux paires d'angles deux à deux de même mesure.

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Soient ABC et A'B'C' deux triangles tels que :
49.jpg = 50.jpg et 52.jpg = 53.jpg.
Comme 54.jpg = 180° - 49.jpg - 52.jpg et 55.jpg = 180° - 50.jpg - 53.jpg,
alors 54.jpg = 55.jpg
Tous les angles sont deux à deux de même mesure donc les triangles sont semblables.

- Propriété :

Si deux triangles ABC et A'B'C' sont semblables, alors les longueurs des côtés opposés aux angles égaux sont proportionnelles :

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- Si k < 1, alors A'B'C' est une réduction de ABC de rapport k.

- Si k >1, alors A'B'C' est un agrandissement de ABC de rapport k.

Exemple :

48.jpg

Les deux triangles ABC et A'B'C' sont semblables car :
49.jpg = 50.jpg, 52.jpg = 53.jpg, 54.jpg = 55.jpg.
Donc les longueurs des côtés du triangle ABC sont proportionnelles aux longueurs des côtés du
triangle A'B'C'.

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Ce tableau est un tableau de proportionnalité et "k" est le coefficient de proportionnalité.

- Propriété :
Si les longueurs des côtés de deux triangles sont proportionnelles, alors ces triangles sont semblables.